06 Euleroperatoren


De Euler-Poincaréformule impliceert een oneindige verscheidenheid van meetkundige configuraties zoals bijvoorbeeld kubussen, viervlakken etc. In dit oerwoud van mogelijkheden is orde geschapen door het formuleren van een aantal Euleroperatoren. Toepassing van Euleroperatoren maakt het mogelijk om:

  • vanuit het niets meetkundige configuraties te construeren
  • vanuit de ene configuratie naar een ander te geraken
  • uit meerdere configuraties een nieuwe te maken.
  • Er bestaan twee groepen operatoren waarmee zoiets kan worden gedaan.
    In 1984 zijn deze groepen door Martti Mäntylä geformuleerd.
    De ene groep wordt “The Make Group of Euler Operators” genoemd, de andere “The Kill Group of Euler Operators”. Voor onderstaande beschrijvingen wordt gebruik gemaakt van een heel nuttige pagina van de Michigan Tech.

    (1)scheppende-operatoren5

    Als we ons de Euler-Poincaréformule herinneren:

    (2) v – e + f – l + f – 2s + 2g = 0
    dan zien we dat elke operator per saldo als waarde nul oplevert:

    (3)
    Mev = -1 +1 =0
    Mfe = +1 –1 +1 –1 =0 [N.B. Mf impliceert f -l +f = 1 -1 +1] Msfv = -2 +1 –1 +1 +1 =0
    Msg = -2 +2 =0
    MeKl = -1 +1 =0

    Tabel (1) geeft aan welke grootheden (V, E, F, L, S of G) tengevolge van de operatoren (Mev, Mfe, Msfv of MeKl) verschijnen of in een enkel geval (onderste regel met betrekking tot L) verdwijnen. Tabel (3) geeft de waarden tengevolge van de werking van de operatoren op de grootheden uit de formule van Euler-Poincaré.
    In zekere zin impliceert een Euleroperator een verandering van een Euler-Poincaréconfiguratie:

    (4) EO→⌂EPF
    (Dat huisje in (4) stelt het wiskundesymbool voor verandering voor: de letter ‘delta’ uit het Griekse alfabet.)

    Omgekeerd zijn er de Kill-operatoren:

    (5)
    vernietigende-operatoren1
    Toepassing van de Euler-Poincaréformule levert uiteraard telkens weer per saldo nul op:

    (6)
    Kev = +1 -1 =0
    Kfe = -1 +1 -1 +1 =0
    Ksfv = +2 -1 +1 -1 -1=0
    Ksg = +2 -2 =0
    KeMl = +1 -1 =0

    In de komende posts behandelen we ten eerste de verschillende configuratiemutaties:

  • om vanuit het niets meetkundige configuraties te construeren:
      (7) →A
  • om vanuit de ene configuratie naar een ander te geraken:
      (8) A→B
  • om uit meerdere configuraties een nieuwe te maken:
      (9) (A+B)→C
  • A, B, C etc. staan symbool voor diverse meetkundige configuraties in termen van EF of EPF zoals bijvoorbeeld een kubus.
    Ten tweede behandelen we diverse opvattingen met betrekking tot wat wel of niet conform de EF of de EPF is. Of omgekeerd: geldt de EF of de EPF ja dan nee voor een gegeven configuratie?

    Geef een reactie