In de vorige post hebben we de Kleine Stervormige Dodecaëder (KSD) behandeld. Hoewel deze door een grootheid als Schläfli is beschouwd als een uitzondering op de regel van Euler kan ze wel degelijk in termen van de formule van Euler-Poincaré worden gegoten. De KSD kan zelfs, als we het geheel als compact opvatten, in termen van de formule van Euler worden beschreven (zie het Besluit van de vorige post).
In de huidige post beschouwen we de de Grote Dodecaëder, welke om overeenkomstige redenen als de Kleine Stervormige Dodecaëder, door verschillende auteurs is beschreven als uitzondering op de formule van Euler.
Grote Dodecaëder
Afbeelding (1):
de Grote Dodecaëder
Ontleend aan oorpronkelijk ontwerp en concept van Tom Ruen; SVG-creatie Júlio Reis
De Grote Dodecaëder is ingewikkelder dan de Kleine Stervormige. Geen drie, maar vier niveaus. Te weten:
De buitenkant toont zich als een eenaanschakeling van twintig driekantige puntzakken. Bijvoorbeeld A1A2A6B2, waarbij B2 het diepstgelegen punt is (zie afbeelding (1).
Dus de buitenkant is een skelet van een regelmatige twintigvlak, met dienverstande dat in plaats van twintig vlakken er zestig vlakken zijn:
v – e + f = (12+20) – (30 + 20*3) + (20*3)
Het geraamte van de icosaëder (regelmatig twintigvlak) aan de buitenkant impliceert dat er dertig ribben zijn (die als het ware de puntzakken begrenzen). Aan elk zo’n ribbe grenzen twee vlakken, elk vlak daarvan ligt in een puntzak. Omgekeerd grenst elk zo’n vlak aan precies één ribbe van de icosaëder. Bijvoorbeeld de vlakken A1B1A6 en A1B2A6 grenzen aan de ribbe A1A6.
Dat wil zeggen aan keerzijde van alle (zestig) vlakken van de buitenkant zijn telkens per ribbe van de dodecaëder twee vlakken van het tweede niveau. Afbeelding (1) laat zien dat elk zo’n tweetal vlakken tesamen met een tweetal andere vlakken van het tweede niveau welke niet de keerzijde zijn van een (deel)vlak van het eerste niveau een viervlak vormen. Bijvoorbeeld het viervlak A1B1A6 B2 bestaat uit de vlakken A1B1A6 en A1B2A6 aan de keerzijde van vlakken van het eerste niveau en de vlakken A1B1B2 en B1B2A6 aan de keerzijde van vlakken van het derde niveau.
Omdat er dertig van zulke ribben als A1A6 zijn, zien we dertig viervlakken die met elkaar het tweede niveau vormen. Dat wil zeggen:
v – e + f = (30*4) – (30*6) + (30*4)
Op afbeelding (1) is te zien dat vijf viervlakken van het tweede niveau “staan” op de gele vijfhoek A1A2A3A4A5. De vijf viervlakken begrenzen met de gele vijfhoek een piramide met grondvlak B1B2B3B4B5 en top A6. Er zijn twaalf vlakken zoals A1A2A3A4A5, dat wil zeggen er zijn twaalf van die piramiden met één grondvlak en vijf opstaande zijden (de opstaande vlakken: B1B2A6, B2B3A6, B3B4A6, B4B5A6 en B5B1A6). Dus voor het derde niveau geldt:
v – e + f = (12*6) – (12*10) + (12*6)
De twaalf piramiden van het derde niveau staan elk op een grondvlak, welke aan de keerzijde (op het vierde niveau) een vlak heeft dat deel uit maakt een regelmatig twaalfvlak. B1B2B3B4B5 is één van die twaalf vlakken. Dat wil zeggen voor het vierde niveau geldt:
v – e + f = 20 – 30 + 12
Samengevat in tabel (2):
De Grote Dodecaëder is evenals de Kleine Stervormige Dodecaëder een figuur dat door twaalf vijfhoekige vlakken die elkaar doorsnijden te beschrijven als een geheel van holtes. Zou zo’n hol object worden “volgegooid” met zand of zo dan voldeed het aan de formule van Euler (beschrijving op het eerste niveau, de buitenkant).
Evenals in het geval van de KSD telde Schläfli bij de GD twaalf vlakken. In zekere zin is dat ook zo. Maar als er geteld wordt volgens de regels van de formule van Euler-Poincaré dan zijn het er heel wat meer. In totaal maar liefst 264 vlakken. De term vlak kan dus uiteenlopende betekenissen hebben. Als het gaat om een ding met gaten en/of holtes dan is het raadzaam om de betekenis van Euler-Poincaré te hanteren.
Besluit
De laatste vier posts (inclusief deze) onderzoeken telkens de in populair wetenschappelijke literatuur(Richeson: hij verdient een eervolle vermelding voor zijn voorbeeldige popularisering van de topologie) en vakliteratuur (Wolfram, Schläfli, Coxeter, Poinsot) weergeven opvatting dat een bepaald figuur (zie met name lasnaadconstructie, laspuntconstructie, Kleine Stervormige Dodecaëder, Grote Dodecaëder) niet in overeenstemming is met de formule van Euler. Alleen van de lasnaadconstructie kan worden gesteld dat ze wel degelijk in overeenstemming is met de formule van Euler. De overige drie zijn heel wel in overstemming met de formule van Euler-Poincaré. De laatste twee betreffen holtes die beschreven worden in termen van de EPF en de laspuntconstructie betreft een centraal gat dat kan worden weergegeven in de EPF. De formule van Euler (EF) is in dergelijke gevallen ontoereikend. Hoogstens in grensgevallen van betekenis. Bijvoorbeeld als de KSD compact is.
In de volgende posts komen ideeën aan bod die zover ik weet (deels) nieuw zijn. Het draait allemaal om het thema “het pi-gehalte van diverse meetkundige objecten”. Kortweg: hoeveel graden bedragen objecten zoals bijvoorbeeld kubus, bol, vierkant of schijf?