In 1895 publiceerde Henri Poincaré een alomvattende uitbreiding van de formule van Euler. Deze formule wordt in het algemeen de Euler-Poincaréformule genoemd.
(1) V – E + F – L + F –2*(S – G) = 0
V = hoekpunten (vertices), E = ribben (edges), F = vlakken (faces), L = lussen (loops), S = schillen (shells), G = gaten (gaps)
L is een variabele, die we nog niet tegenkwamen. Ik las als vertaling voor loops ook wel randen. Elk vlak heeft tenminste één rand (een loop of lus). In eerste instantie heeeft namelijk elk vlak een outer loop of buitenrand. Als er een opening in het vlak zit dan is er ook een inner loopof binnenrand.
Omdat elk vlak tenminste één outer loop heeft impliceert f altijd een aantal van l=f loops.
Dus als -bijvoorbeeld, f=3 dan geldt f-l+f=3-3+3=3:
(2) F → = f – l + f ≤ f
Zijn er twee vlakken, waarvan één met een opening (dus twee outer loops en één inner loop), dan wordt (2) gespecificeerd tot:
(3) F → 2 – (2+1) + 2 = 1 ≤ (f =2)
De tweede nieuwe variable is S: shell of schil. Om een compacte kubus zit één schil. Bevindt zich binnen de kubus een holte dan geldt s=2. Bevindt zich in die holte weer een compacte kubus dan geldt s=3.
Formule (1) herschrijven we -wat mij betreft- voor het gemak tot:
(4) V – E + F – L + F –2S + 2G = 0
Voor specifieke waarden gaat (4) over in (5):
(5) v – e + f – l + f – 2s + 2g = 0
Voor –bijvoorbeeld- een compact kubusachtig lichaam geldt:
(6) 8 – 12 + 6 – 6 + 6 – 2 + 0 = 0
Ikzelf vind de formule (1) sprookjesachtig mooi. Gek genoeg kom je hem niet zo heel vaak tegen op het web. De eenvoudigere en beperktere formule van Euler, zoals in 02 De Formule van Euler zie je veel vaker.