Euler publiceerde zijn formule in 1752. In 1813 publiceerde Simon Antoine Jean Lhuillier (zijn voornamen en achternamen worden op het internet op uiteenlopende wijzen gespeld: bijvoorbeeld Antoine-Jean Lhuilier; dit terzijde) ook een verbetering of/en uitbreiding van de formule van Euler. Lhuillier laat zien dat als je gaten boort in een massief veelvlak dat de formule dan moet worden aangepast.
Ter herinnering, de oorspronkelijke formule van Euler (maar dan met Engelstalige notatie):
(1) V –E + F =2
Lhuillier breidt de formule uit tot:
(2) V – E + F = 2 – 2G
G staat voor het aantal gaten (gaps).
Dus als g=1 dan wordt de rechter term 2-2=0. In het geval g=2 wordt het resulaat 2 –2*2 = -2. En zovoort.
Duidelijk, maar wat is eigenlijk een gat? Een gat is een tunnel die ergens een veelvlak in gaat en ergens anders eruit gaat. Een gat is dus niet zozeer een deuk (zoals een put in de grond), als wel een tunnel met een ingang en uitgang.
Als we bijvoorbeeld een kubus met een driehoekige tunnel er doorheen nemen dan geldt:
(3) v=14, e=21, f=9, g=1:
(4) v – e +f = 2 –2g
(5) 14 – 21 + 9 = 2 – 2*1 = 0
Het is niet moeilijk om in te zien dat formule (1) een speciaal geval is van formule (2) voor het geval dat G=0.
Nota bene: ‘g=0’ betekent: het aantal gaten is 0 en ‘G=0’ betekent: er bestaan geen gaten. In de vorige blogpagina schreef ik dat hoofdletters in de Eulerformule staan voor alle mogelijke aantallen en kleine letters voor gegeven aantallen, vandaar.
De formule van Lhuillier is op haar beurt een inperking van een alomvattende formule welke omstreeks 1895 door Poincaré is bedacht. Daarover gaat de volgende posting.