De Euler-Poincaréformule is een generalisatie van de Formule van Euler. Euler is waarschijnlijk de meest productieve wiskundige ooit geweest (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Printonly/Euler.html).
Het is nuttig om eerst de (veel) eenvoudiger formule van Euler te bekijken en te doorgronden alvorens je tanden in de formule van Euler-Poincaré te zetten.
De formule zegt dat elk veelvlak dat we als een massief lichaam voorstellen kan worden weergegeven met:
(1) V – E + F = 2
V is het aantal hoekpunten (Engels: vertices); E is het aantal ribben (Engels: edges) en F is het aantal vlakken (Engels: faces).
Dus voor een massieve kubus geldt:
(2) v=8, e=12, f=6:
(3) v – e + f = 2
(4) 8 –12 + 6 = 2
Nota bene in expressie (1) is de formule van Euler weergegeven in kapitalen, terwijl (2) geheel in onderkast staat. De variabelen uit (1) hebben betrekking op alle mogelijke aantallen (natuurlijke getallen: nul en alle postieve gehele getallen). Expressie (3) duidt aan dat voor elke variabele uit (1) een bepaald aantal (natuurlijk getal) geldt.
Zo is blijkens (2) v gelijk aan 8, enzovoort. Uit (4) kan worden afgeleid dat de algemene formule (1) klopt voor de kubus.
Dit is natuurlijk geen bewijs voor de algemene juistheid van (1). Er zijn evenwel tal van bewijzen (http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/) voor deze formule. Wij gaan in het kader van deze weblog niet in op bewijzen: we nemen de formule voor waar aan.
We kunnen een willekeurig ander massief veelvlak nemen en daar de formule op los laten. Bijvoorbeeld een regelmatig viervlak:
(5) v=4, e=6, f=4:
(6) 4 – 6 + 4 = 2
De formule (1) is waar, maar onder beperkte voorwaarden. In de volgende posting meer hierover.
Tot slot nog één opmerking.
De formule is van toepassing op een kubus, tetraëder (regelmatig viervlak) of welke veelvlak ook. Maar het is daarbij niet noodzakelijk dat –bijvoorbeeld in het geval van de kubus- alle ribben identiek zijn: qua vorm of lengte. Als de aantallen (v, e en f) maar kloppen. Dus je kan eerder spreken van toepassing op kubusachtige, tetraëderachtige of wat ook veelvlakachtig dan enkel alleen van kubussen, tetraëders enzovoorts.