De formule van Euler:

(1) V – E + F = 2

kan worden opgevat als een beperking van de EPF (Euler-Poincaréformule):

(2) V – E + F –L +F – 2S + 2G = 0

Als in (2) geldt l=F, s=1 en g=0 dan gaat (2) over in (3):

(3) V – E + F – f + F – 2 + 0 = 0

N.B. Omdat de waarde van L gebonden is aan die van F schrijven we voor L een kleine letter f.

Formule (3) is te herschrijven tot:

(4) V – E + F = 2

Formule (4) is identiek met formule (1).
De formule van Euler is de EPF zonder lussen (L) of gaten (G) en heeft maar één schil (S), uitgedrukt in de constante 2 aan de rechterzijde van de vergelijking in (4).
Opgemerkt kan worden dat de betekenis van EPF een andere is dan die van de EF. Wat in de EF een constante is (de 2), is in de EPF de uitkomst van –2*S, voor het geval dat s=1. Voor Euler bestaat er niet zoiets als een schil. Dit geldt ook voor de begrippen ‘gaten’ en ‘lussen’.

Interessant is de vraag: hoe ver reikt de formule van Euler-Poincaré?
In de loop van de tijd zijn er verschillende uitspraken gedaan met betrekking tot de (vermeende) beperkte geldigheid van de Eulerformule. In de volgende posts wordt hierop ingegaan. Uiteraard komt dan ook de vraag naar de reikwijdte van de EPF aan de orde.

In 1895 publiceerde Henri Poincaré een alomvattende uitbreiding van de formule van Euler. Deze formule wordt in het algemeen de Euler-Poincaréformule genoemd.

(1) V – E + F – L + F –2*(S – G) = 0
V = hoekpunten (vertices), E = ribben (edges), F = vlakken (faces), L = lussen (loops), S = schillen (shells), G = gaten (gaps)

L is een variabele, die we nog niet tegenkwamen. Ik las als vertaling voor loops ook wel randen. Elk vlak heeft tenminste één rand (een loop of lus). In eerste instantie heeeft namelijk elk vlak een outer loop of buitenrand. Als er een opening in het vlak zit dan is er ook een inner loopof binnenrand.
Omdat elk vlak tenminste één outer loop heeft impliceert f altijd een aantal van l=f loops.
Dus als -bijvoorbeeld, f=3 dan geldt f-l+f=3-3+3=3:

(2) F → = f – l + f ≤ f

Zijn er twee vlakken, waarvan één met een opening (dus twee outer loops en één inner loop), dan wordt (2) gespecificeerd tot:

(3) F → 2 – (2+1) + 2 = 1 ≤ (f =2)

De tweede nieuwe variable is S: shell of schil. Om een compacte kubus zit één schil. Bevindt zich binnen de kubus een holte dan geldt s=2. Bevindt zich in die holte weer een compacte kubus dan geldt s=3.

Formule (1) herschrijven we -wat mij betreft- voor het gemak tot:

(4) V – E + F – L + F –2S + 2G = 0

Voor specifieke waarden gaat (4) over in (5):

(5) v – e + f – l + f – 2s + 2g = 0

Voor –bijvoorbeeld- een compact kubusachtig lichaam geldt:

(6) 8 – 12 + 6 – 6 + 6 – 2 + 0 = 0

Ikzelf vind de formule (1) sprookjesachtig mooi. Gek genoeg kom je hem niet zo heel vaak tegen op het web. De eenvoudigere en beperktere formule van Euler, zoals in 02 De Formule van Euler zie je veel vaker.

Euler publiceerde zijn formule in 1752. In 1813 publiceerde Simon Antoine Jean Lhuillier (zijn voornamen en achternamen worden op het internet op uiteenlopende wijzen gespeld: bijvoorbeeld Antoine-Jean Lhuilier; dit terzijde) ook een verbetering of/en uitbreiding van de formule van Euler. Lhuillier laat zien dat als je gaten boort in een massief veelvlak dat de formule dan moet worden aangepast.

Ter herinnering, de oorspronkelijke formule van Euler (maar dan met Engelstalige notatie):

(1) V –E + F =2

Lhuillier breidt de formule uit tot:

(2) V – E + F = 2 – 2G
G staat voor het aantal gaten (gaps).
Dus als g=1 dan wordt de rechter term 2-2=0. In het geval g=2 wordt het resulaat 2 –2*2 = -2. En zovoort.

Duidelijk, maar wat is eigenlijk een gat? Een gat is een tunnel die ergens een veelvlak in gaat en ergens anders eruit gaat. Een gat is dus niet zozeer een deuk (zoals een put in de grond), als wel een tunnel met een ingang en uitgang.

Als we bijvoorbeeld een kubus met een driehoekige tunnel er doorheen nemen dan geldt:

(3) v=14, e=21, f=9, g=1:
(4) v – e +f = 2 –2g
(5) 14 – 21 + 9 = 2 – 2*1 = 0

Het is niet moeilijk om in te zien dat formule (1) een speciaal geval is van formule (2) voor het geval dat G=0.

Nota bene: ‘g=0’ betekent: het aantal gaten is 0 en ‘G=0’ betekent: er bestaan geen gaten. In de vorige blogpagina schreef ik dat hoofdletters in de Eulerformule staan voor alle mogelijke aantallen en kleine letters voor gegeven aantallen, vandaar.

De formule van Lhuillier is op haar beurt een inperking van een alomvattende formule welke omstreeks 1895 door Poincaré is bedacht. Daarover gaat de volgende posting.